Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）求证：AE⊥D₁F；
（2）求证：AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

分析：（1）取AB中点G，连结A₁G、FG，由正方体的性质和平行四边形的判定证出四边形GFD₁A₁是平行四边形，从而  A₁G∥D₁F．设A₁G、AE交于点H，在正方形ABA₁B₁中利用Rt△A₁AG≌Rt△ABE，证出∠GA₁A+∠A₁AE=90°，得∠AHA₁=90°即AE⊥A₁G，从而证出AE⊥D₁F；
（2）由正方体的性质和线面垂直的定义证出A₁D₁⊥AE，结合AE⊥D₁F且A₁D₁、D₁F₁是平面A₁D₁F内的相交直线，可得AE⊥平面A₁D₁F．

解答：解：（1）取AB中点G，连结A₁G、FG
∵FG是正方形ABCD的对边中点的连线，∴FG

∥

.

AD
∵A₁D₁

∥

.

AD，∴FG

∥

.

A₁D₁，可得四边形GFD₁A₁是平行四边形，
所以A₁G∥D₁F．
设A₁G与AE相交于点H，∠AHA₁是AE与D₁F所成的角．
∵正方形ABA₁B₁中，G、E分别是AB、BB₁的中点，
∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE，得∠GA₁A=∠BAE=90°-∠A₁AE
∴∠GA₁A+∠A₁AE=90°，得∠AHA₁=90°即AE⊥A₁G，
结合A₁G∥D₁F，得AE⊥D₁F；
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，且AE?平面ABB₁A₁，
∴A₁D₁⊥AE，
又∵AE⊥D₁F，A₁D₁∩D₁F₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．

点评：本题给出正方体的棱的中点，求证线线垂直和线面垂直．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质、平行四边形的判定和全等三角形等知识，属于中档题．