Question

13．给出下列四个命题：
①命题“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²≤0”；
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率$\frac{π}{4}$；
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据全称命题的否定是特称命题进行判断，
②根据相关性系数的性质进行判断，
③根据几何概型的概率公式进行判断，
④根据不等式恒成立进行判断．

解答 解：①命题“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²＜0”，故①错误；
②根据线性相关系数r的意义可知，当r的绝对值越接近于1时，两个随机变量线性相关性越强，故②正确，
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率P=$\frac{\frac{1}{4}×π×（\frac{1}{2}）^{2}}{1×1}$=$\frac{π}{16}$；故③错误，
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
则log₂（x²-ax+2）＞0，即x²-ax+2＞1，x²-ax+1＞0恒成立，
即a＜x+$\frac{1}{x}$在[2，+∞）上恒成立，
∵当x≥2时，y=x+$\frac{1}{x}$在[2，+∞）上为增函数，
∴当x=2时，x+$\frac{1}{x}$取得最小值2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a＜$\frac{5}{2}$．
则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．故④正确，
故正确的是：②④．
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大．