Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）•（f（x₁）-f（x₂））＞0，则当n∈N^*时，有（　　）

• A、f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
• B、f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
• C、f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）
• D、f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），由（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0”等价于“x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁）”，符合增函数的定义，得到f（x）在（-∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为减函数，由n+1＞n＞n-1＞0，可得结论．

解答： 解：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），由（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0，
∴x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]为增函数，
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）为减函数，
∵n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＜f（n）＜f（n-1），
∴f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
故选D．

点评：本题主要考查函数单调性定义的变形与应用以及奇偶函数在对称区间上的单调性的关系：偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．