Question

已知函数f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．设x=α时f（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α-

π

12

，且sinBsinC=sin²A，试判断三角形的形状．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简函数的解析式为f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），根据x∈[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值以及此时a的值．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A，可得bc=a²．又由余弦定理可得 （b-c）²=0，故有 b=c，三角形为等边三角形．

解答： 解：（1）依题函数f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x=[1-cos（2x+

π

2

]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，则

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故当 2x-

π

3

=

π

2

，即x=α=

5π

12

时，f（x）取得最大值为3．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A，可得bc=a²，
又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，∴（b-c）²=0，∴b=c，
又 A=α-

π

12

=

π

3

，所以三角形为等边三角形．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，余项定理的应用，属于基础题．