Question

（Ⅰ）设a＞0，b＞0，求证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

；
（Ⅱ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三数a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（Ⅰ）利用分析法，灵活利用基本不等式的性质，即可得证，
（Ⅱ）用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即可得出结论．

解答： 证明：（Ⅰ）证法一：要证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

，
即证：a+b≥

a2+b2 2

+

ab

，
即证：a2+b2+2ab≥

a2+b2

2

+ab+2

ab• a2+b2 2

，
即证：

a2+b2

2

+ab≥2

ab• a2+b2 2

，
由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证．
证法二：要证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

，
即证：

( a-b 2 )2

a+b 2 + ab

≥

( a-b 2 )2

a2+b2 2 + a+b 2

，
由基本不等式

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，可得上式成立，故原不等式得证．
（Ⅱ）假设三数a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2．
则a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜6，
∵a、b、c∈R⁺，
∴a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

=（a+

1

a

）+（b+

1

b

）+（c+

1

c

）≥2+2+2=6，与假设相矛盾，
∴三数a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

点评：本题主要考查了证明问题的方法，分析法和反证法，关键是掌握不等式的基本性质，属于中档题．