Question

7．已知数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₁，a₂，a₄成等比数列．可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，即（1+d）²=1×（1+3d），解得d即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₄成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，∴（1+d）²=1×（1+3d），解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（II）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．