Question

已知函数f(x)＝6cos²＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x₀)＝，且x₀∈(－，)，求f(x₀＋1)的值．

Answer 1

（1）函数f(x)的值域为[－2，2]．
（2）

解：(1)由已知可得f(x)＝6cos²＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)，
又正三角形ABC的高为2，则|BC|＝4，
所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，得ω＝，
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x₀)＝，由(1)得
f(x₀)＝2sin(＋)＝，
即sin(＋)＝，
由x₀∈(－，)，得＋∈(－，)，
即cos(＋)＝＝，
故f(x₀＋1)＝2sin(＋＋)
＝2sin[(＋)＋]
＝2 [sin(＋)cos＋cos(＋)sin]
＝2×(×＋×)
＝．