Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=-

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3

时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
当a=-

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时，f'（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，x2=

1

2

，x₃=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在(0，

1

2

)，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），(

1

2

，2)内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解些不等式，得-

8

3

≤a≤

8

3

．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是[-

8

3

，

8

3

]．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，从而4x²+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．