Question

【题目】在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：⊥平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）证明EG∥AB1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥平面AB1D．

（2）取B1C1的中点D1，连接DD1．建立空间直角坐标系D-xyz，通过向量的数量积证明BC1⊥DA，BC1⊥DB1．然后证明BC1⊥平面AB1D．

（3）求出平面B1CB的一个法向量，平面AB1C的一个法向量，设二面角A-B1C-B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．

（1）证明：因为E为AC中点，G为B1C中点．所以EG∥AB1．

又因为EG平面AB1D，AB1平面AB1D，

所以EG∥平面AB1D．

（2）证明：取B1C1的中点D1，连接DD1．

显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

则D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）．

所以，，．

又因为，，

所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．

又因为DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．

（3）解：显然平面B1CB的一个法向量为=（1，0，0）．

设平面AB1C的一个法向量为：=（x，y，z），

又，，

由得

设x=1，则，，则．

所以．

设二面角A-B1C-B的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，

所以．