Question

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\overrightarrow m$=（2b，1），$\overrightarrow n$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（1）求角A的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求sin∠BAD．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐标运算得到关于三角形内角的三角函数式，结合三角恒等变换得到关于A 的余弦值求得A．
（2）运用向量等式得到D为三角形的重心，以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，通过解三角形解答．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow m$=（2b，1），$\overrightarrow n$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
所以ccosA+acosC=2bcosA，由正弦定理得到sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，所以sin（A+C）
=sinB=2sinBcosA，所以cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）又因为$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}$，则D为△ABC的重心，以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，因为AD=2，
所以AE=6，在△ABE中，$AB=\sqrt{3}$，∠ABE=120°．
由正弦定理可得$\frac{{\sqrt{3}}}{sin∠AEB}=\frac{6}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，解得$sin∠AEB=\frac{1}{4}$且$cos∠AEB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
因此sin∠BAD=sin（$\frac{π}{3}$-∠BAD）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$．…（12分）

点评 本题考查了向量平行的坐标运算以及三角恒等变形和解三角形；属于中档题．