Question

12．已知函数y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由指数函数的值域可得函数y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定义域；
（2）直接利用复合函数的单调性求得函数的单调区间．

解答 解：（1）∵${2}^{{x}^{2}+2x+2}＞0$恒成立，∴函数y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定义域为R；
∵x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，∴${2}^{{x}^{2}+2x+2}≥2$，则y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）∵函数y=x²+2x+2在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性得y=${2}^{{x}^{2}+2x+2}$在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数，
∴函数y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$在（-∞，-1]上为增函数，在（-1，+∞）上为减函数．

点评 本题考查复合函数的定义域和值域的求法，考查复合函数的单调性，是中档题．