Question

1．已知圆C：x²+（y-2）²=5，直线l：mx-y+1=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据直线mx-y+1=0，恒过定点（0，1），点在圆C内部，可得结论；
（2）求出圆心C（0，2）到直线mx-y+1=0的距离，代入圆的弦长公式，可得答案．

解答 解：（1）直线mx-y+1=0恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆C：x²+（y-2）²=5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）圆心C（0，2）到直线mx-y+1=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
所以弦AB的长度=2$\sqrt{5-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{\frac{5{m}^{2}+4}{{m}^{2}+1}}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的弦长公式是解答的关键．