Question

11．已知数列{a_n}是无穷数列，满足lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=3，求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）求证：“数列{a_n}中存在a_k（k∈N^*）使得lga_k=0”是“数列{a_n}中有无数多项是1”的充要条件；
（Ⅲ）求证：在数列{a_n}中?a_k（k∈N^*），使得1≤a_k＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=2，a₂=3，结合lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…）可得a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；
（Ⅲ）利用反证法，假设数列{a_n}中不存在a_k（k∈N^*），使得1≤a_k＜2，则0＜a_k＜1或a_k≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．

解答 （Ⅰ）解：∵a₁=2，a₂=3，lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…），
∴lga₃=|lg3-lg2|=$lg\frac{3}{2}$，即${a}_{3}=\frac{3}{2}$；
$lg{a}_{4}=|lg\frac{3}{2}-lg3|=lg2$，即a₄=2；
$lg{a}_{5}=|lg2-lg\frac{3}{2}|=lg\frac{4}{3}$，即${a}_{5}=\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）证明：必要性、已知数列{a_n}中有无数多项是1，则数列{a_n}中存在a_k（k∈N^*）使得lga_k=0．
∵数列{a_n}中有无数多项是1，∴数列{a_n}中存在a_k（k∈N^*）使得a_k=1，
即数列{a_n}中存在a_k（k∈N^*）使得lga_k=0．
充分性：已知数列{a_n}中存在a_k（k∈N^*）使得lga_k=0，则数列{a_n}中有无数多项是1．
假设数列{a_n}中没有无数多项是1，不妨设${a}_{m}=1（m∈{N}^{*}）$是数列{a_n}中为1的最后一项，则a_m+1≠1，
若a_m+1＞1，则由lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…），可得lga_m+2=lga_m+1，
∴lga_m+3=|lga_m+2-lga_m+1|=0，则lga_m+3=1，与假设矛盾；
若0＜a_m+1＜0，则由lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…），可得lga_m+2=-lga_m+1，
∴lga_m+3=|lga_m+2-lga_m+1|=-2lga_m+1，
lga_m+4=|lga_m+3-lga_m+2|=|-2lga_m+1+lga_m+1|=-lga_m+1，
lga_m+5=|lga_m+4-lga_m+3|=|-lga_m+1+2lga_m+1|=-lga_m+1，
∴lga_m+6=|lga_m+5-lga_m+4|=0，得lga_m+6=1，与假设矛盾．
综上，假设不成立，原命题正确；
（Ⅲ）证明：假设数列{a_n}中不存在a_k（k∈N^*），使得1≤a_k＜2，
则0＜a_k＜1或a_k≥2（k=1，2，3，…）．
由lga_n+1=|lga_n-lga_n-1|（n=2，3，4，…），可得
${a}_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}，{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\\{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}，{a}_{n}＜{a}_{n-1}}\end{array}\right.$（n=1，2，3，…）*，且a_n＞0（n=1，2，3，…），
∴当n≥2时，a_n≥1，a_n≥2（n=3，4，5，…）．
若a₄=a₃≥2，则a₅=1，与a₅≥2矛盾；
若a₄≠a₃≥2，
设b_m=max{a_2m+1，a_2m+2}（m=1，2，3，…），则b_m≥2．
由（*）可得，${a}_{2m+3}≤\frac{max\{{a}_{2m+1}，{a}_{2m+2}\}}{2}=\frac{1}{2}{b}_{m}$，
${a}_{2m+4}≤\frac{1}{2}max\{{a}_{2m+2}，{a}_{2m+3}\}$，
∴$max\{{a}_{2m+3}，{a}_{2m+4}\}≤\frac{1}{2}{b}_{m}$，即${b}_{m+1}≤\frac{1}{2}{b}_{m}$（m=1，2，3，…），
∴${b}_{m}≤\frac{{b}_{1}}{{2}^{m+1}}$，
对于b₁，显然存在l使得${2}^{l-1}≤{b}_{l}＜{2}^{l}$．
∴${b}_{l+1}≤\frac{{b}_{1}}{{2}^{l}}＜1$，这与b_m≥2矛盾．
∴假设不成立，原命题正确．

点评 本题考查数列递推式，考查了充分必要条件的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，训练了反证法证题的方法，属难题．