Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）．若{a_n}为等比数列，且a₁=2，b₃=6+b₂．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n=

1

an

-

1

bn

（n∈N^*）．记数列{c_n}的前n项和为S_n．
  （i）求S_n；
  （ii）求正整数k，使得对任意n∈N^*均有S_k≥S_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{a_n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a_n，然后现利用条件求出通项b_n；
（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*） ①，
当n≥2，n∈N^*时，a1a2a3…an-1=(

2

)bn-1 ②，
由①②知：an=(

2

)bn-bn-1，
令n=3，则有a3=(

2

)b3-b2．
∵b₃=6+b₂，
∴a₃=8．
∵{a_n}为等比数列，且a₁=2，
∴{a_n}的公比为q，则q2=

a3

a1

=4，
由题意知a_n＞0，∴q＞0，∴q=2．
∴an=2n（n∈N^*）．
又由a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）得：
21×22×23…×2n=(

2

)bn，
2

n(n+1)

2

=(

2

)bn，
∴b_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅱ）（i）∵c_n=

1

an

-

1

bn

=

1

2n

-

1

n(n+1)

=

1

2n

-(

1

n

-

1

n+1

)．
∴S_n=c₁+c₂+c_3+…+c_n
=

1

2

-(

1

1

-

1

2

)+

1

22

-(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2n

-(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-(1-

1

n+1

)
=1-

1

2n

-1+

1

n+1

=

1

n+1

-

1

2n

；
（ii）因为c₁=0，c₂＞0，c₃＞0，c₄＞0；
当n≥5时，
cn=

1

n(n+1)

[

n(n+1)

2n

-1]，
而

n(n+1)

2n

-

(n+1)(n+2)

2n+1

=

(n+1)(n-2)

2n+1

＞0，
得

n(n+1)

2n

≤

5•(5+1)

25

＜1，
所以，当n≥5时，c_n＜0，
综上，对任意n∈N^*恒有S₄≥S_n，故k=4．

点评：本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．