Question

已知等比数列{a_n}的公比大于零，a₁+a₂=3，a₃=4，数列{b_n}是等差数列，b_n=

n(n+1)

n+c

，c≠0是常数．
（1）求c的值，数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足：c₁=1，c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），求数列{c_n}的通项公式及使得c_n-2b_n≥0成立的n的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列通项公式的特点结合b_n=

n(n+1)

n+c

可设b_n=

n(n+1)

n+c

=n+t，整理后由系数间的关系求得c=1，则等差数列{b_n}的通项公式可求．再设出等比数列{a_n}的公比，由a₁+a₂=3，a₃=4联立求出首项和公比，则等比数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把{a_n}的通项公式代入c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），利用累加法求得数列{c_n}的通项公式，再把{b_n}和{c_n}的通项公式代入c_n-2b_n≥0，通过构造辅助函数f（n）=2^n-1-2n，作差判断出f（n）的单调性，结合计算f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）=0得答案．

解答： 解：（1）∵数列{b_n}是等差数列，且b_n=

n(n+1)

n+c

，
∴b_n=

n(n+1)

n+c

=n+t，则n²+n=n²+（t+c）n+tc，
即t+c=1，且tc=0，
又c≠0，
∴t=0，则c=1．
∴b_n=n．
设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₂=3，a₃=4，得：

a1(1+q)=3 a1q2=4

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=2n-1；
（2）∵c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），
∴cn-cn-1=2n-2（n≥2），
则c2-c1=20
c3-c2=21
…
cn-cn-1=2n-2（n≥2）．
累加得：cn-c1=20+21+…+2n-2=

1×(1-2n-1)

1-2

=2n-1-1．
又c₁=1，
∴cn=2n-1（n≥2）．
当n=1时满足，
∴cn=2n-1．
由c_n-2b_n≥0，得2^n-1-2n≥0，
令f（n）=2^n-1-2n，
则f（n+1）-f（n）=2ⁿ-2（n+1）-2^n-1+2n=2^n-1-2，
当n≥2时f（n）单调递增．
又f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）=0．
∴n≥4．
故使得c_n-2b_n≥0成立的n的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用构造函数法求解不等式，是中高档题．