Question

在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC₁的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A₁MC？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）取AB的中点M，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，证明四边形MDEO为平行四边形即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB∩AC=A，
∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AC⊥BC，AA₁∩AC=A，
∴直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，设O为A₁C，AC₁的交点，则O为AC₁的中点．
连接MD，OE，则MD∥AC，MD=

1

2

AC，OE∥AC，OE=

1

2

AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
∴DE∥MO，
∵DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，
∴DE∥平面A₁MC，
∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A₁MC．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．