Question

圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+

3

交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x₀，y₀），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=

8

x0•y0

．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．
（Ⅱ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，则

2

a2

+

2

b2

=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=

1

2

•AB•d=2，求出a²、b²的值，从而得到所求椭圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x₀，y₀），且x₀＞0，y₀＞0．
则切线的斜率为-

x0

y0

，故切线方程为 y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），即x₀x+y₀y=4．
此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

．
再根据 x02+y02=4≥2

x0•y0

，可得当且仅当x₀=y₀=

2

时，x₀•y₀取得最大值，即S取得最小值，
故点P的坐标为（

2

，

2

）．
（Ⅱ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴

2

a2

+

2

b2

=1．
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+ 3

 求得b²x²+4

3

x+6-2b²=0，
∴x₁+x₂=-

4 3

b2

，x₁•x₂=

6-2b2

b2

．
由 y₁=x₁+

3

，y₂=x₂+

3

，可得AB=

2

|x₂-x₁|=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

( -4 3 b2 )2-4× 6-2b2 b2

=

2

b2

8b4-24b2+48

．
由于点P（

2

，

2

）到直线l：y=x+

3

的距离d=

| 2 - 2 + 3 |

2

，
△PAB的面积为S=

1

2

•AB•d=2，可得 b⁴-9b²+18=0，解得 b²=3，或 b²=6，
当b²=6 时，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=3，不满足题意；
当b²=3时，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为

x2

6

+

y2

3

=1．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．