Question

一同学为研究函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题

分析：把函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

看作是图中的AP+PF，通过分析点P的特殊位置得到AP+PF的范围，而函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是方程f（x）=

9

4

的解的个数，由

9

4

大于AP+PF的最小值且小于AP+PF的最大值可知f（x）=

9

4

的解有2个，则答案可求．

解答： 解：由题意可得：
函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
当A、P、F共线时，f（x）取得最小值为

5

＜

9

4

，
当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

9

4

．
g（x）=4f（x）-9=0，即f（x）=

9

4

．
故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=

9

4

的解的个数．
而由题意可得f（x）=

9

4

的解有2个，
故选：B．

点评：本题考查函数模型的选择及应用，考查数学转化思想方法，解答此题的关键是正确理解题意，是中档题．