Question

如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,立体几何

分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．

解答： 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=

1

2

PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=

1

2

BC=4；
∴DE²+EF²=DF²，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．