【题目】在平面直角坐标系中,点、分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为,点在双曲线上,不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线交的轨迹于,两点,为上一点,且满足,其中,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据题意列出表达式,又因为点在双曲线上,所以,联立两个方程可得到参数值;(2)联立直线和椭圆得到二次方程,又因为,得,代入椭圆方程得,根据弦长公式得到,求表达式的范围即可.
详解:(1)设点,分别为, ,由已知,所以,, ,又因为点在双曲线上,所以,
则,即,解得,,所以.
连接,因为,,所以四边形为平行四边形,
因为四边形的周长为,所以,
所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点,长轴长为的椭圆(除去左右顶点),可得动点的轨迹方程为:.
(2)由题意可知该直线存在斜率,设其方程为且.
由得,
∴,得,
设,,,则,
由,得,
代入椭圆方程得,由得,
∴,
令,则,∴.
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【题目】某年级组织学生参加了某项学术能力测试,为了解参加测试学生的成绩情况,从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本,规定成绩大于或等于80分的为优秀,否则为不优秀.统计结果如图:
(1)求的值和样本的平均数;
(2)从该样本成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩至少有一个落在内的概率.
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【题目】设复平面上点对应的复数 (为虚数单位)满足,点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点,倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、,,为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求直线的方程;
(3)设△PQR三个顶点在曲线上,求证:当是△PQR重心时,△PQR的面积是定值.
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【题目】对于任意,若数列满足,则称这个数列为“K数列”.
(1)已知数列:,,是“K数列”,求实数的取值范围;
(2)设等差数列的前项和为,当首项与公差满足什么条件时,数列是“K数列”?
(3)设数列的前项和为,,且,. 设,是否存在实数,使得数列为“K数列”. 若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若PA=PD=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
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