【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若PA=PD=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)先证明平面
即可;(2)建立空间直角坐标系,分别求出平面
、平面
的法向量,再由向量的夹角公式计算即可.
证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD.
又因为AB面PCD,CD面PCD,所以AB∥面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.
解:(2)取AD中点G,连接PG,GB.
因为PA=PD,所以PG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PG⊥平面ABCD.所以PG⊥GB.
在菱形ABCD中,因为AB=AD,∠DAB=60°,G是AD中点,
所以AD⊥GB.
如图,以G为原点,GA为x轴,GB为y轴,GP为z轴,建立空间直角坐标系G﹣xyz.
设PA=PD=AD=2a,
则G(0,0,0),A(a,0,0),.
又因为AB∥EF,点E是棱PC中点,所以点F是棱PD中点.
所以,
.
所以,
.
设平面AFE的法向量为n=(x,y,z),则有所以
令x=3,则平面AFE的一个法向量为.
因为BG⊥平面PAD,所以是平面PAF的一个法向量.
因为,
所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,点、
分别为双曲线
的左、右焦点,双曲线
的离心率为
,点
在双曲线
上,不在
轴上的动点
与动点
关于原点
对称,且四边形
的周长为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点的直线交
的轨迹
于
,
两点,
为
上一点,且满足
,其中
,求
的取值范围.
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【题目】从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如下表
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推, 例如6613用算筹表示就是: ,则26337用算筹可表示为( )
A. B.
C. D.
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【题目】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A.12种B.24种C.36种D.48种
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【题目】用合适的方法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集.
(1)到A、B两点距离相等的点的集合
(2)满足不等式的
的集合
(3)全体偶数
(4)被5除余1的数
(5)20以内的质数
(6)
(7)方程的解集
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