Question

14．椭圆与双曲线有相同的焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则3e₁²+e₂²的最小值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'．由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得$\frac{a{′}^{2}+b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$，即（$\frac{c}{a′}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1．由此结合基本不等式性质可知：3e₁²+e₂²＞2$\sqrt{3{e}_{1}^{2}•{e}_{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即可求得3e₁²+e₂²的最小值$2\sqrt{3}$．

解答 解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'，
∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，
∴${k}_{{F}_{1}B}$=$\frac{a′}{b′}$，即$\frac{b}{c}$=$\frac{a′}{b′}$，
平方可得：$\frac{b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$，由此得到$\frac{a{′}^{2}+b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$即$\frac{{c}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∴（$\frac{c}{a′}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，
由e₁=$\frac{a}{c}$，e₂=$\frac{c}{a′}$，
∴e₁•e₂=1，
∵e₁、e₂都是正数，
∴3e₁²+e₂²＞2$\sqrt{3{e}_{1}^{2}•{e}_{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当3e₁²=e₂²，即e₂=$\sqrt{3}$e₁，e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e₂=$\sqrt{3}$时，等号成立，
∴3e₁²+e₂²的最小值$2\sqrt{3}$，
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线及椭圆的性质的综合运用，考查直线的斜率公式与离心率的关系，基本不等的应用，考查计算能力，属于中档题．