Question

19．已知圆C：（x-3）²+（y-5）²=5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的方程为2x-y-1=0或2x+y-11=0．

Answer 1

分析 由题意可设直线L的方程为y-5=k（x-3），P（0，5-3k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与圆的方程，然后由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A为PB的中点可得x₂=2x₁，联立可求x₁，x₂，进而可求k，即可求解直线方程．

解答 解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在
可设直线L的方程为y-5=k（x-3）
令x=0可得y=5-3k，即P（0，5-3k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k²）x²-6（1+k²）x+9k²+4=0
由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=6，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}$①
∵A为PB的中点
∴x₂=2x₁②
把②代入①可得x₂=4，x₁=2，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}$=8
∴k=±2
∴直线l的方程为y-5=±2（x-3），即2x-y-1=0或2x+y-11=0．
故答案为：2x-y-1=0或2x+y-11=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程思想，属于中档题．