Question

8．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列{a_n}是递增数列；             
②数列{na_n}是递增数列；
③数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是递增数列；            
④数列{a_n+3nd}是递增数列；
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．

解答 解：∵对于公差d＞0的等差数列{a_n}，a_n+1-a_n=d＞0，∴数列{a_n}是递增数列成立，是真命题．
对于数列数列{na_n}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）a_n+1-na_n=nd+a_n+1，不一定是正实数，故是假命题．
对于数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$，第n+1项与第n项的差等于$\frac{nd-{a}_{n}}{n（n+1）}$，不一定是正实数，故是假命题．
对于数列数列{a_n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 a_n+1+3（n+1）d-a_n-3nd=4d＞0，
故数列{a_n+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：B．

点评 本题考查递增数列，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键．