Question

16．（1）求和：S_n=1$\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}+3\frac{1}{8}+…+（{n+\frac{1}{2^n}}）$．
（2）a_n=$\frac{1}{{n（{n+2}）}}，n∈{N^+}$，求此数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）分组分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）S_n=（1+2+…+n）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）a_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴此数列的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．