Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-7，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-1，0），（2，0），如图所示，试求x₀，a，b，c的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由y=f′（x）的图象可知，在（-∞，-1）上f′（x）＜0，在（-1，2）上f′（x）＞0，在（2，+∞）上f′（x）＜0，由此能求出x₀，a，b，c的值．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx，
∴y′=3ax²+2bx+c，
由y=f′（x）的图象可知，
在（-∞，-1）上f′（x）＜0，在（-1，2）上f′（x）＞0，
在（2，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，2）上递增，在（2，+∞）上递减．
因此，f（x）在x=-1处取得极小值，
所以x₀=-1．
∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c．
故由f′（-1）=0，f′（2）=0，f（-1）=-7，
解得a=-2，b=3，c=12．

点评：本题考查x₀，a，b，c的值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．