Question

13．若a²=b²+c²-bc，且sinA=2sinB•cosC，那么△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等边三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 a²=b²+c²-bc，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$．由sinA=2sinB•cosC，利用和差公式、三角形内角和定理，可得sin（B-C）=0，根据B，C∈（0，π），即可得出．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∵sinA=2sinB•cosC，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinB•cosC，
化为：sin（B-C）=0，∵B，C∈（0，π），
∴B-C=0，
解得B=C=$\frac{1}{2}（π-A）$=$\frac{π}{3}$．
那么△ABC是等边三角形．
故选：B．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、等边三角形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．