Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时满足：①f（x）﹣2f（﹣x）＝0；②对任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0恒成立：③f（4）＝2f（2）＝2，则不等式x[f（x）﹣1]＞0的解集为_____（用区间表示）

Answer 1

【答案】.

【解析】

根据③和①，求得f（﹣4）＝1，，由②可知函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，结合题意，可以判断出f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，将不等式x[f（x）﹣1]＞0转化为不等式组或，从而确定出结果.

根据题意，当x＞0时满足f（x）﹣2f（﹣x）＝0，即f（x）＝2f（﹣x），

又由f（4）＝2f（2）＝2，则f（﹣4）＝1，；

若对任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，

设x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，有，

即，所以，

则f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，

x[f（x）﹣1]＞0或；

分析可得：﹣4＜x＜0或，即不等式的解集为，

故答案为：.