Question

7．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，CC₁的中点．
（1）求证：AD∥平面A₁EFD₁；
（2）求直线AD到平面A₁EFD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定证明；
（2）过A作AH⊥A₁E与H，JAH交A₁E于G，则AH⊥面A₁EFD₁，
线段AG的长是直线AD到平面A₁EFD₁的距离，△AA₁H∽△AGA₁，则有$\frac{AG}{A{A}_{1}}=\frac{A{A}_{1}}{AH}$⇒AG即可．

解答 解：（1）证明：如图，∵E，F分别是BB₁，CC₁的中点，∴EF∥A₁D₁，∴四点A₁、E、F、D₁共面．
∵AD∥EF，AD?面A₁EFD₁，EF?A₁EFD₁∴AD∥平面A₁EFD₁
（2）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中面 AA₁B₁B中⊥面A₁EFD₁．
过A作AH⊥A₁E与H，JAH交A₁E于G，则AH⊥面A₁EFD₁，
线段AG的长是直线AD到平面A₁EFD₁的距离，
△AA₁H∽△AGA₁，则有$\frac{AG}{A{A}_{1}}=\frac{A{A}_{1}}{AH}$⇒AG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}a$
∴直线AD到平面A₁EFD₁的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}a$．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，线面距离，属于中档题．