Question

已知曲线C：y=x²，过点P（0，a）（a＜0）向C做切线，切点分别为A，B，则

PA

•

PB

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设切线方程是y=kx+a，（a＜0）．联立

y=x2 y=kx+a

，得x²-kx-a=0，由△=0，推导出

PA

•

PB

=a+4a²=（2a+

1

2

）²-

1

4

．由此能求出

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：设切线方程是y=kx+a，（a＜0）．
联立

y=x2 y=kx+a

，得x²-kx-a=0①，
∵△=k²+4a=0，∴k=±2

-a

，
代入①，得：x=±

-a

，y=-a，
∴A、B的坐标是（-

-a

，-a）、（

-a

，-a）．
∴

PA

=（-

-a

，-2a），

PB

=（

-a

-2a），
∴

PA

•

PB

=a+4a²=（2a+

1

2

）²-

1

4

．
∴

PA

•

PB

的最小值是-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查向量的数量积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．