Question

已知f（x）=（x+a）e^x．
（1）若y=f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2014=0垂直，求y=f（x）的极值；
（2）设g（x）=x²-4x-3，若对任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用y=f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2014=0垂直，求出a的值，确定函数的单调性，即可求y=f（x）的极值；
（2）求出f（x），g（x）的值域，利用对任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x+a）e^x，
∴f′（x）=（x+a+1）e^x，
∴f′（0）=a+1，
∵y=f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2014=0垂直，
∴a+1=-2，
∴a=-3，
∴f（x）=（x-3）e^x，f′（x）=（x-2）e^x，
∴x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0，
∴x=2时，函数取得极小值为-e²；
（2）由（1）知，函数f（x）在[0，1]上单调递减，
∴（1+a）e≤f（x）≤a，
∵g（x）=x²-4x-3，x∈[-1，3]，
∴-7≤g（x）≤2，
∵对任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，
∴-7≤（1+a）e且a≤2，
∴-

7

e

-1≤a≤2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．