某校学生研究性学习小组发现.学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增.接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间.随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f(t)与上课时刻第t分钟末的关系如下(t∈(0.40].设上课开始时.t=0):f(t)=100at10-60340-15t+640．若上课后第5� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：
f（t）=

100a

-60(0＜t≤10)

340(10＜t≤20)

-15t+640(20＜t≤40)

（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？
（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，100•a

-60=140，从而求a的值；
（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=-15×35+640=115，从而可得答案；
（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．

解答： 解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，
即100•a

-60=140，
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；
（3）①当0＜t≤10时，
由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，
②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；
③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，
故20＜t≤

100

，
综上所述，5≤t≤

100

，
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持

100

-5=

分钟．

点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．

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