Question

10．已知△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足B=$\frac{2π}{3}$，c=a•cos（A+C），则tanA的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意易得a=2c，再由余弦定理可得b=$\sqrt{7}$c，进而可得cosA，由同角三角函数基本关系可得tanA

解答 解：由题意可得c=a•cos（A+C）=-acosB=$\frac{1}{2}$a，∴a=2c，
再由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=4c²+c²-2×2c×c×（-$\frac{1}{2}$）=7c²，解得b=$\sqrt{7}$c，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2×\sqrt{7}c×c}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和同角三角函数基本关系，属中档题．