Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+1满足f（﹣1）=0，且x∈R时，f（x）的值域为[0，+∞）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣2kx，k∈R． ①若g（x）在x∈[﹣2，2]时是单调函数，求实数k的取值范围；
②若g（x）在x∈[﹣2，2]上的最小值g（x）min=﹣15，求k值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： ，得 ，

所以f（x）=x2+2x+1

（2）解：①g（x）=x2﹣2（k﹣1）x+1；

所以k﹣1≤﹣2或k﹣1≥2，即k≤﹣1或k≥3；

②当k﹣1≤﹣2即k≤﹣1时，g（x）min=g（﹣2）=4k+1=﹣15，得k=﹣4；

当k﹣1≥2即k≥3时，g（x）min=g（2）=9﹣4k=﹣15，得k=6；

当﹣2＜k﹣1＜2即﹣1＜k＜3时， ，得k=﹣3（舍）或k=5（舍）

综上k=﹣4或k=6．

【解析】（1）由题意可得f（﹣1）=0，判别式为0，解方程可得a=1，b=2，进而得到函数的解析式；（2）①根据二次函数的性质即可求出k的范围． ②需要分类讨论，根据二次函数的性质即可求出k的值．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．