Question

3．已知椭圆x²+2y²=98及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最值．

Answer 1

分析 可设出Q（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），（0≤α＜2π），求出|PQ|，化简整理成关于sinα的式子，并配方，再由正弦函数的值域，结合二次函数的顶点，即可得到最值．

解答 解：由于Q为椭圆x²+2y²=98上一动点，
可设Q（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），（0≤α＜2π），
则|PQ|=$\sqrt{（0-7\sqrt{2}cosα）^{2}+（5-7sinα）^{2}}$=$\sqrt{148-49（sinα+\frac{5}{7}）^{2}}$
由于sinα∈[-1，1]，
则当sinα=-$\frac{5}{7}$∈[-1，1]，此时cosα=±$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，即M（4$\sqrt{3}$，-5）或（-4$\sqrt{3}$，-5）时，|PQ|取最大值，且为2$\sqrt{37}$；
当sinα=1时，cosα=0，即有M（0，7），|PQ|取最小值，且为2．

点评 本题考查椭圆方程，主要是运用参数方程解题，考查三角函数的化简和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．