Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于矩形AEDC中，B点为ED的中点，AC=AA₁=2AE=2．
（1）求异面直线AB₁与A₁D所成角的余弦值；
（2）求平面A₁B₁E与平面AEDC所成二面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出异面直线AB₁与A₁D方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（2）分别求出平面A₁B₁E与平面AEDC的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，则A₁（0，0，2），B₁（1，1，0），B（1，1，2），D（1，2，0），E（1，1，0）
从而

AB1

=（1，1，2），

A1D

=（1，2，-2）
∴cos＜

AB1

，

A1D

＞=-

6

18

又由两异面直线夹角的范围是（0，

π

2

]
∴异面直线AB₁与A₁D所成角的余弦值为

6

18

（II）设

n

=（x，y，z）为平面A₁B₁E的一个法向量
∵

A1E

=（1，0，-2），

A1B1

=

AB

=（1，1，0）
由

n • A1E =0 n • AB =0

，即

x-2z=0 x+y=0

令z=1，得平面A₁B₁E的一个法向量

n

=（2，-2，1）
又∵

m

=

AA1

=（0，0，2）是平面AEDC的一个法向量
由cos＜

m

，

n

＞=

2

2×3

=

1

3

得
平面A₁B₁E与平面AEDC所成二面角的余弦值为

1

3

点评：本题考查的知识点是有空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将空间线线夹角及二面角转化为向量夹角问题是解答的关键．