Question

已知函数f（x）=x|x-1|-1．
（1）求满足f（x）=x的x值；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）解不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

Answer 1

解：（1），…
所以，当x≥1时，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得，
因为x≥1，所以．…
当x＜1时，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，无实数解．…
所以，满足f（x）=x的x值为．…
（2）由，
当x≥1时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞）；…
当x＜1时，f（x）的单调递增区间为．…
所以，f（x）的单调递增区间是和[1，+∞）．…
（3）当x≥1时，由x²-x-1＜0得，…
当x＜1时，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…
所以，不等式f（x）＜0的解集为．…
分析：（1）讨论x的范围，将绝对值去掉得到分段函数，然后求解方程f（x）=x，即可求出满足条件的x；
（2）分段研究该函数的单调性，从而求出该函数的单调区间；
（3）当x≥1时，解不等式x²-x-1＜0，当x＜1时，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，从而求出满足条件的x的范围．
点评：本题主要考查了含绝对值的函数的单调性以及解方程，同时考查了分段讨论的思想，属于中档题．