Question

1．已知函数f（x）满足$f（{log_a}x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（x-{x^{-1}}）$（其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设log_ax=t求出x=a^t，代入原函数化简求出f（x）的表达式；
（Ⅱ）对a分类讨论，分别由指数函数的单调性判断f（x）的单调性，由函数奇偶性的定义判断f（x）是奇函数，由奇函数的性质等价转化f（1-m）+f（1-m²）＜0，结合x的范围和单调性列出不等式，求出实数m的取值范围；
（Ⅲ）根据f（x）的单调性和题意求出f（x）的值域，结合条件列出不等式，化简后由一元二次不等式的解法求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设log_ax=t，则x=a^t，
代入原函数得，$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$
则$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$                    …（2分）
（Ⅱ）当a＞1时，a^x是增函数，a^-x是减函数且$\frac{a}{{a}^{2}-1}＞0$，
所以f（x）是定义域R上的增函数，
同理，当0＜a＜1时，f（x）也是R上的增函数，…（4分）
又f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）$=-f（x），则f（x）为奇函数             …（5分）
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得：f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1-{m}^{2}＜1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$1＜m＜\sqrt{2}$                  …（8分）
则实数m的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）；
（Ⅲ）因为f（x）是增函数，
所以x∈（-∞，2）时，f（x）-4∈（-∞，f（2）-4），
又当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负数，
所以f（2）-4≤0，…（9分）
则f（2）-4=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{2}-{a}^{-2}）-4$
=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•\frac{{a}^{4}-1}{{a}^{2}}-4$=$\frac{{a}^{2}+1}{a}-4≤0$               …（10分）
解得$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1，
所以a的取值范围是{a|$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1}．…（12分）

点评 本题考查换元法求函数的解析式，函数奇偶性的定义，复合函数单调性的判断及应用，以及指数函数的单调性，考查分类讨论思想，转化思想，化简、变形能力．