Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{lo{g}_{0.5}（-x），x＜0}\end{array}\right.$，若f（a）-2f（-a）＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞1
• B． -1＜a＜0
• C． a＞1或-1＜a＜0
• D． -1＜a＜1

Answer 1

分析 结合已知的函数解析式和对数函数的图象和性质，分别求出不同情况下实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若a＞0，则-a＜0，
不等式f（a）-2f（-a）＞0可化为：log₂a-2${log}_{\frac{1}{2}}$a=3log₂a＞0，
解得：a∈（1，+∞）；
若a＜0，则-a＞0，
不等式f（a）-2f（-a）＞0可化为：${log}_{\frac{1}{2}}$（-a）-2log₂（-a）=3${log}_{\frac{1}{2}}$（-a）＞0，
解得：a∈（-1，0）；
综上所述，a∈（-1，0）∪（1，+∞），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．