Question

6．在锐角△ABC中，sinA=sin²B+sin（$\frac{π}{4}$+B）sin（$\frac{π}{4}$-B）．
（1）求角A的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=12，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的正弦公式便可以得出$sin（\frac{π}{4}+B）sin（\frac{π}{4}-B）$=$\frac{1}{2}（1-2si{n}^{2}B）$，从而可由$sinA=si{n}^{2}B+sin（\frac{π}{4}+B）sin（\frac{π}{4}-B）$得出$sinA=\frac{1}{2}$，这样即可得到A=$\frac{π}{6}$；
（2）可由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=12$及$A=\frac{π}{6}$便可得出$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，$sinA=si{n}^{2}B+sin（\frac{π}{4}+B）sin（\frac{π}{4}-B）$
=$si{n}^{2}B+（\frac{\sqrt{2}}{2}cosB+\frac{\sqrt{2}}{2}sinB）$$（\frac{\sqrt{2}}{2}cosB-\frac{\sqrt{2}}{2}sinB）$
=$si{n}^{2}B+\frac{1}{2}（co{s}^{2}B-si{n}^{2}B）$
=$si{n}^{2}B+\frac{1}{2}（1-2si{n}^{2}B）$
=$\frac{1}{2}$；
又A为锐角；
∴$A=\frac{π}{6}$；
（2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{6}=12$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=8\sqrt{3}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$．

点评 考查两角和差的正弦公式，sin²x+cos²x=1，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式：$S=\frac{1}{2}absinC$．