Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x₁，x₂∈（0，+∞）恒有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；
（3）若f（3）=-1，
（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3^x）＜-2．

Answer 1

分析：（1）根据题意和式子的特点，先令x₁=x₂=1求出f（1）=0；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用

x2

x1

＞1且 f(

x2

x1

)＜0，判断符号并得出结论；
（3）根据题意，把不等式转化为f（3^x）＜f（9），再由（2）的结论知3^x＞9，故解此不等式即可．

解答：解：（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=0，
（2）设x₂＞x₁＞0，则 f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（3^x）＜-2可化为f（3^x）＜f（9），
又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3^x＞9，
即3^x＞3²，解得：x＞2，
即不等式的解集为 （2，+∞）．

点评：本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x₁和x₂值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小．