Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB与E．求证
（Ⅰ）AB•AC=BC•AD
（Ⅱ）AD³=BC•CF•BE．

Answer 1

分析 （I）在Rt△ABC中，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD，可得结论；
（Ⅱ）根据射影定理可得BD²=BE•AB，CD²=CF•AC，AD²=BD•CD，故AD⁴=BD²•CD²=BE•AB•CF•AC，结合（I）中结论，可得结论．

解答 证明：（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD
∴AB•AC=BC•AD
（Ⅱ）在Rt△ADB中，DE⊥AB与E，
由射影定理得：BD²=BE•AB，
同理在Rt△ADC中，CD²=CF•AC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴AD²=BD•CD，
∴AD⁴=BD²•CD²=BE•AB•CF•AC，
又由（I）中AB•AC=BC•AD
∴AD⁴=BE•BC•CF•AD
∴AD³=BC•CF•BE．

点评 本题考查的知识点是三角形等积法，射影定理，难度不大，属于基础题．