Question

15．过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设出直线l的方程，联立抛物线方程消去y，得到x的方程，由韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到斜率，进而得到直线方程．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
显然直线的斜率存在，可设l：y=k（x-1），
代入抛物线方程，可得k²（x-1）²=4x，
即为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=6，
解得k=±1．
则直线l：y=x-1或y=-x+1．
故答案为：y=x-1或y=-x+1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，属于基础题．