Question

10．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，且AB⊥x轴，AC∥x轴，则$\frac{|AC|•|AB|}{|BC{|}^{2}}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据三角形的顶点的位置首先判断三角形是直角三角形，进一步利用基本不等式求出结果．

解答 解：已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，且AB⊥x轴，AC∥x轴，
则：△ABC为直角三角形．
AB²+AC²=BC²
利用基本不等式：$\left|AC\right|\left|AB\right|≤\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}}{2}$，
所以：$\frac{|AC|•|AB|}{|BC{|}^{2}}≤\frac{\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}}{2}}{{AB}^{2}+{AC}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（当且仅当AB=AC时等号成立）．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识要点：基本不等式的应用，勾股定理的应用，主要考察学生的应用能力．