Question

18．如图⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过A点的直线分别与⊙O₁、⊙O₂相文于C、D两点，以C、D为切点分别作两圆的切线相交于点E．
（Ⅰ）若EA的延长线与⊙O₁交于点M，证明切割线定理：EC²=EA•EM
（Ⅱ）证明：E、C、B、D四点共圆．

Answer 1

分析 （I）连结CM，利用EC是⊙O₁切线，可证明△ECA～△EAC，推出EC²=EA•EM；
（II）连结CB、DB，证明∠ECA=∠CBA，得到∠EDA=∠DBA，然后证明E、C、B、D四点共圆．

解答 证明：（I）连结CM，∵EC是⊙O₁切线，∴∠ECA=∠EMC，
∵∠CEM=∠AEC，∴△ECA～△EAC，
∴$\frac{EC}{EM}=\frac{EA}{EC}$，∴EC²=EA•EM；…（5分）
（II）连结CB、DB，∵EC是⊙O₁在C点的切线，
∴∠ECA=∠CBA，同理∠EDA=∠DBA，
∴∠DEC+∠CBD=∠DEC+（∠CBA+∠DBA）=∠DEC+（∠ECA+∠EDA）=180°，
∴E、C、B、D四点共圆．…（10分）

点评 本题考查三角形相似，圆的切线，四点共圆的判断，考查推理能力．