Question

9．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1≤0}\\{kx-y≥0}\\{x+y+2≥0}\end{array}\right.$表面的平面区域为Ω，则当实数k≥0，区域Ω的面积取得最小值时的k的值为1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出平面区域的面积，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，C（1，-3，），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{kx-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$，即B（1，k），
由$\left\{\begin{array}{l}{kx-y=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2}{1+k}}\\{y=\frac{-2k}{1+k}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{-2}{1+k}$，$\frac{-2k}{1+k}$），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×[1-（$\frac{-2}{1+k}$）]×（k+3）=$\frac{1}{2}×（k+3）•\frac{k+3}{k+1}$
=$\frac{1}{2}•\frac{{k}^{2}+6k+9}{k+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{（k+1）^{2}+4（k+1）+4}{k+1}$
=$\frac{1}{2}•$[（k+1）+$\frac{4}{k+1}$+4]
$≥\frac{1}{2}•[2\sqrt{（k+1）•\frac{4}{k+1}}+4]$
=$\frac{1}{2}×8=4$，
当且仅当k+1=$\frac{4}{k+1}$，即（k+1）²=4，
∵k≥0，∴k+1=2，即k=1时取等号，
故答案为：1

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的性质的应用，作出不等式组对应的平面区域，求出三角形的面积是解决本题的关键．