Question

5．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）对于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2，当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n+1）}$，利用“裂项求和”即可证明．

解答 （I）解：∵对于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2，
∴当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（II）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴T_n=$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$≤1+$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查了数列的递推式、等比数列的通项公式、“裂项求和”与“放缩法”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．