Question

13．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）=f（x），在区间[-1，1）上，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{4^x}+a，}&{-1≤x≤0}\\{{x^2}-{{log}_2}x，}&{0＜x＜1}\end{array}}$，若f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，则f（4a）=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先分别求出f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}+a$，f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$，再由f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，得a=$\frac{3}{4}$，从而f（4a）=f（3）=f（-1），由此能求出结果．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）=f（x），
在区间[-1，1）上，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{4^x}+a，}&{-1≤x≤0}\\{{x^2}-{{log}_2}x，}&{0＜x＜1}\end{array}}$，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=${4}^{-\frac{1}{2}}$+a=$\frac{1}{2}+a$，
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²-$lo{g}_{2}\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$，
∵f（-$\frac{5}{2}$）-f（$\frac{9}{2}$）=0，
∴$\frac{1}{2}+a=\frac{5}{4}$，解得a=$\frac{3}{4}$，
∴f（4a）=f（3）=f（-1）=${4}^{-1}+\frac{3}{4}$=1．
故选：A．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．