Question

已知△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α的同侧，AB，BC与α所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=4

2

，AC=5，则AC与α所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：作出如图的图形，D是A在面内的射影，E是C在面内的射影过A作AF⊥BC于F直线AC与其在面内射影DE的夹角与角DAE大小相等，求之即可．

解答： 解：如图，D是A在面内的射影，
E是C在面内的射影过A作AF⊥BC于F，
则面ADEC与面α垂直，故AC在面内的射影即DE，
直线AC与面α的夹角即AC与DE所成的锐角由作图知，∠CAF的大小即即线面角的大小，
由已知及作图，AB=3，BC=4

2

，∠ABD=30°，∠CBE=45°
∴AD=

3

2

，CE=4，
由作图知CF=

5

2

，又AC=5，
∴AF=

5 3

3

在直角三角形AFC中，cos∠CAF=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：考查立体几何中线面角的求法．依据定义作出合适的图象，根据题意求解是解决这类题的重点．