Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b（a，b∈R）的一个极值点为x=1．方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β（α＜β），函数f（x）在区间[α，β]上是单调的．
（1）求a的值和b的取值范围；
（2）若x₁，x₂∈[α，β]，证明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）一个极值点为x=1?f′（1）=0?a=-1，在利用函数f（x）在区间[α，β]上是单调的?b的取值范围．
（2）函数f（x）在区间[α，β]上是单调?|f（x₁）-f（x₂）|≤f（α）-f（β）再利用a的值和b的取值范围?|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-x²+ax+b，
∴f′（x）=3x²-2x+a．
∵f（x）=x³-x²+ax+b的一个极值点为x=1，
∴f′（1）=3×1²-2×1+a=0．
∴a=-1．（2分）
∴f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
当x＜-

1

3

时，f′（x）＞0；当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在(-∞，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
∵方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β，即x²-x-b=0的两根为α，β（α＜β），
∴α=

1- 1+4b

2

，β=

1+ 1+4b

2

．
∴α+β=1，αβ=-b，α-β=-

1+4b

．（4分）
∵函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间(-∞，-

1

3

]，[-

1

3

，1]，[1，+∞）之一的子区间．
由于α+β=1，α＜β，故[α，β]⊆[-

1

3

，1]．
若α＜0，则α+β＜1，与α+β=1矛盾．
∴[α，β]⊆[0，1]．
∴方程x²-x-b=0的两根α，β都在区间[0，1]上．（6分）
令g（x）=x²-x-b，g（x）的对称轴为x=

1

2

∈[0，1]，
则

g(0)=-b≥0\hfill g(1)=-b≥0 △=1+4b＞0

解得-

1

4

＜b≤0．
∴实数b的取值范围为(-

1

4

，0]．（8分）
说明：（6分）至（8分）的得分点也可以用下面的方法．
∵α=

1- 1+4b

2

≤

1

2

，β=

1+ 1+4b

2

≥

1

2

且函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴[α，β]⊆[-

1

3

，1]．
由

α≥- 1 3 β≤1 △=1+4b＞0

即

1- 1+4b 2 ≥- 1 3 1+ 1+4b 2 ≤1 1+4b＞0

（6分）
解得-

1

4

＜b≤0．
∴实数b的取值范围为(-

1

4

，0]．（8分）
（2）证明：由（1）可知函数f（x）在区间[α，β]上单调递减，
∴函数f（x）在区间[α，β]上的最大值为f（α），最小值为f（β）．
∵x₁，x₂∈[α，β]，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（α）-f（β）=（α³-α²-α+b）-（β³-β²-β+b）=（α³-β³）-（α²-β²）-（α-β）=（α-β）[（α+β）²-αβ-（α+β）-1]=-

1+4b

×(b-1)=

1+4b

×(1-b)．（10分）
令t=

1+4b

，则b=

1

4

(t2-1)，

1+4b

×(1-b)=

1

4

(5t-t3)．
设h(t)=

1

4

(5t-t3)，则h′(t)=

1

4

(5-3t2)．
∵-

1

4

＜b≤0，
∴0＜t≤1．
∴h′(t)=

1

4

(5-3t2)＞0．
∴函数h(t)=

1

4

(5t-t3)在（0，1]上单调递增．（12分）
∴h（t）≤h（1）=1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤1．（14分）

点评：函数的极值表示函数在某一点附近的情况，可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，也就是说，是极值点的充分条件是在这一点的两侧导数值异号．